حل تمرین صفحه 49 ریاضی هفتم

زاویه بین عقربه‌های ساعت در زمان‌های مختلف متفاوت است. در اینجا چند مثال برای هر نوع زاویه آورده شده است: 🕰️ - **زاویه راست ($۹۰^\circ$):** زمانی که عقربه‌ها بر هم عمود هستند. - **مثال:** ساعت **۳:۰۰** (و همچنین حدوداً ۹:۰۰) - **زاویه باز (منفرجه) (بزرگ‌تر از $۹۰^\circ$):** زمانی که عقربه‌ها از هم فاصله زیادی دارند. - **مثال:** ساعت **۴:۰۰** یا **۵:۰۰** - **زاویه تند (حاده) (کوچک‌تر از $۹۰^\circ$):** زمانی که عقربه‌ها به هم نزدیک هستند. - **مثال:** ساعت **۱:۰۰** یا **۲:۰۰** - **زاویه نیم‌صفحه ($۱۸۰^\circ$):** زمانی که عقربه‌ها یک خط راست را تشکیل می‌دهند. - **مثال:** ساعت **۶:۰۰**

برای پیدا کردن زوایای مجهول، از روابط بین زاویه‌ها مانند مکمل بودن، متمم بودن، متقابل به رأس بودن و مجموع زوایای مثلث استفاده می‌کنیم. - **شکل بالا، چپ:** $x$ با زاویه $۸۰^\circ$ متقابل به رأس است، پس $x=۸۰^\circ$. $y$ مکمل $۸۰^\circ$ است، پس $y=۱۸۰^\circ-۸۰^\circ=۱۰۰^\circ$. - **شکل بالا، دوم:** $x$ و $۳۲^\circ$ متمم هستند (مجموع $۹۰^\circ$). پس $x=۹۰^\circ-۳۲^\circ=۵۸^\circ$. - **شکل بالا، سوم:** $x$ و $۸۰^\circ$ مکمل هستند (مجموع $۱۸۰^\circ$). پس $x=۱۸۰^\circ-۸۰^\circ=۱۰۰^\circ$. - **شکل بالا، راست:** سه زاویه روی یک خط راست قرار دارند. پس $x+۳۰^\circ+۶۰^\circ=۱۸۰^\circ \implies x=۹۰^\circ$. - **شکل پایین، چپ:** سه زاویه روی یک خط راست قرار دارند. پس $x+۹۰^\circ+۴۵^\circ=۱۸۰^\circ \implies x=۴۵^\circ$. - **شکل پایین، دوم:** $x$ با زاویه $۱۰۰^\circ$ متقابل به رأس است، پس $x=۱۰۰^\circ$. $y$ مکمل $۱۰۰^\circ$ است، پس $y=۱۸۰^\circ-۱۰۰^\circ=۸۰^\circ$. - **شکل پایین، سوم (مثلث):** با فرض اینکه مثلث بزرگ ABC قائم‌الزاویه در رأس A باشد، مجموع زوایای $B$ و $C$ برابر $۹۰^\circ$ است. پس $\hat{B} = ۹۰^\circ - ۴۰^\circ = ۵۰^\circ$. در مثلث کوچک قائم‌الزاویه سمت چپ، $x+\hat{B}+۹۰^\circ=۱۸۰^\circ \implies x+۵۰^\circ+۹۰^\circ=۱۸۰^\circ \implies x=۴۰^\circ$. - **شکل پایین، راست (مثلث):** زاویه خارجی $۱۵۰^\circ$ است، پس زاویه داخلی مجاور آن $۱۸۰^\circ-۱۵۰^\circ=۳۰^\circ$ است. مجموع زوایای مثلث $۱۸۰^\circ$ است. پس $x+۵۰^\circ+۳۰^\circ=۱۸۰^\circ \implies x=۱۰۰^\circ$.

می‌توانیم این تساوی را با استفاده از تجزیه زاویه‌ها و جبر اثبات کنیم. زاویه $y\hat{O}z$ بین دو زاویه قائمه مشترک است. ۱. **تجزیه زاویه $x\hat{O}z$:** این زاویه از مجموع دو زاویه $x\hat{O}y$ و $y\hat{O}z$ تشکیل شده است. چون $x\hat{O}z = ۹۰^\circ$ است، داریم: $$x\hat{O}y + y\hat{O}z = ۹۰^\circ \implies x\hat{O}y = ۹۰^\circ - y\hat{O}z$$ ۲. **تجزیه زاویه $t\hat{O}y$:** این زاویه نیز از مجموع دو زاویه $t\hat{O}z$ و $y\hat{O}z$ تشکیل شده است. چون $t\hat{O}y = ۹۰^\circ$ است، داریم: $$t\hat{O}z + y\hat{O}z = ۹۰^\circ \implies t\hat{O}z = ۹۰^\circ - y\hat{O}z$$ **نتیجه‌گیری:** همانطور که می‌بینیم، هر دو زاویه $x\hat{O}y$ و $t\hat{O}z$ با مقدار یکسانی ($۹۰^\circ - y\hat{O}z$) برابر هستند. بنابراین، خودشان نیز باید با هم برابر باشند: $$x\hat{O}y = t\hat{O}z$$ (این یک مثال از این اصل است که متمم‌های یک زاویه با هم برابرند.)

برای پیدا کردن کسر مورد نظر، ابتدا باید اندازه زاویه $x\hat{A}y$ را محاسبه کنیم. ۱. **محاسبه اندازه زاویه $x\hat{A}y$:** زاویه بزرگ $x\hat{A}z$ از دو زاویه کوچکتر $x\hat{A}y$ و $y\hat{A}z$ تشکیل شده است. ما اندازه زاویه بزرگ و یکی از زوایای کوچک (زاویه قائمه $y\hat{A}z = ۹۰^\circ$) را داریم. $$x\hat{A}y = x\hat{A}z - y\hat{A}z = ۱۲۰^\circ - ۹۰^\circ = ۳۰^\circ$$ ۲. **محاسبه کسر:** حالا کسر خواسته شده را تشکیل می‌دهیم: $$\frac{\text{زاویه } x\hat{A}y}{\text{زاویه } x\hat{A}z} = \frac{۳۰^\circ}{۱۲۰^\circ}$$ ۳. **ساده کردن کسر:** $$\frac{۳۰}{۱۲۰} = \frac{۳}{۱۲} = \frac{۱}{۴}$$ بنابراین، زاویه $x\hat{A}y$ برابر با **یک چهارم** زاویه $x\hat{A}z$ است.

این سه شکل چندضلعی هستند و می‌توان آنها را از جنبه‌های مختلف مقایسه کرد. **شباهت‌ها:** ✅ - هر سه شکل **چندضلعی** هستند (از به هم پیوستن چند پاره‌خط تشکیل شده‌اند). - هر سه شکل **بسته** هستند. - هر سه شکل **شش‌ضلعی** هستند (دارای ۶ ضلع و ۶ رأس می‌باشند). **تفاوت‌ها:** ❌ - **محدب و مقعر بودن:** شکل (ج) یک چندضلعی **محدب (کوژ)** است، زیرا هیچ زاویه داخلی بزرگتر از $۱۸۰^\circ$ ندارد. اما شکل‌های (الف) و (ب) **مقعر (کاو)** هستند، زیرا دارای زاویه‌های داخلی بزرگتر از $۱۸۰^\circ$ (فرورفتگی) می‌باشند. - **منتظم بودن:** شکل (ج) یک شش‌ضلعی **منتظم** است، یعنی تمام ضلع‌ها و زاویه‌های آن با هم برابرند. اما شکل‌های (الف) و (ب) **غیرمنتظم** هستند.

دوران ۱۸۰ درجه‌ای یک شکل حول یک نقطه، به معنای «وارونه کردن» آن شکل نسبت به آن نقطه است. برای دوران ۱۸۰ درجه، جهت چرخش (ساعتگرد یا پادساعتگرد) تأثیری در نتیجه نهایی ندارد. **الف) دوران شکل ①:** اگر شکل ① را حول مرکز دوران (نقطه صورتی) به اندازه ۱۸۰ درجه بچرخانیم، روی **شکل ③** منطبق می‌شود. **ب) دوران شکل ④:** اگر شکل ④ را حول همان مرکز به اندازه ۱۸۰ درجه بچرخانیم، روی **شکل ②** منطبق می‌شود.

با در نظر گرفتن شکل L نارنجی به عنوان شکل اصلی، سایر شکل‌ها با یکی از سه تبدیل اصلی (انتقال، دوران، تقارن) به دست آمده‌اند. **الف) انتقال (Translation):** انتقال به معنای «سر خوردن» یا جابجایی شکل بدون هیچ‌گونه چرخش یا برعکس شدن است. جهت‌گیری شکل حفظ می‌شود. - **شکل‌های C و E** انتقال یافته شکل اصلی هستند. **ب) دوران (Rotation):** دوران به معنای «چرخاندن» شکل حول یک نقطه است. - **شکل‌های B, D, F** دوران یافته شکل اصلی هستند. (شکل B دوران $۹۰^\circ$ ساعتگرد، شکل D دوران $۹۰^\circ$ پادساعتگرد و شکل F دوران $۱۸۰^\circ$ است.) **ج) تقارن محوری (Reflection):** تقارن یا بازتاب به معنای «آینه‌ای کردن» شکل نسبت به یک خط است. - **شکل A** قرینه شکل اصلی نسبت به یک خط عمودی است.

با بررسی تغییرات وضعیت و جهت‌گیری هر شکل، نوع تبدیل مشخص می‌شود: - **الف) A به B:** شکل چرخیده است. تبدیل انجام شده **دوران** است. - **ب) A به C:** شکل به صورت آینه‌ای نسبت به یک خط افقی فرضی، برعکس شده است. تبدیل انجام شده **تقارن محوری** است. - **ج) B به E:** شکل فقط جابجا شده و جهت آن تغییری نکرده است. تبدیل انجام شده **انتقال** است. - **د) D به A:** شکل فقط جابجا شده و جهت آن تغییری نکرده است. تبدیل انجام شده **انتقال** است. - **ه) D به C:** شکل چرخیده است. تبدیل انجام شده **دوران** است.

برای منطبق کردن شکل A بر B در هر مورد، می‌توان از دو تبدیل هندسی متفاوت استفاده کرد. - **شکل (الف) - متوازی‌الاضلاع‌ها:** ۱. **انتقال:** می‌توانیم شکل A را به صورت مستقیم به سمت راست حرکت دهیم تا روی B قرار گیرد. ۲. **دوران:** می‌توانیم شکل A را به اندازه **$۱۸۰$ درجه** حول نقطه‌ای که دقیقاً در وسط دو شکل قرار دارد، بچرخانیم تا روی B منطبق شود. - **شکل (ب) - هشت‌ضلعی‌ها:** ۱. **انتقال:** می‌توانیم شکل A را به صورت مستقیم به سمت راست حرکت دهیم تا روی B قرار گیرد. ۲. **تقارن محوری (بازتاب):** می‌توانیم شکل A را نسبت به یک **خط تقارن عمودی** که دقیقاً در وسط دو شکل قرار دارد، بازتاب دهیم تا روی B منطبق شود.

در این تصویر، سه جفت شکل مساوی وجود دارند که هر کدام با یک تبدیل ساده به دیگری تبدیل شده‌اند: - **جفت اول: شکل A و B** این دو ذوزنقه با یکدیگر مساوی هستند و شکل B **انتقال** یافتهٔ شکل A است. - **جفت دوم: شکل C و D** این دو مثلث با یکدیگر مساوی هستند و شکل D **تقارن محوری (بازتاب)** یافتهٔ شکل C نسبت به یک خط افقی است. - **جفت سوم: شکل E و F** این دو پنج‌ضلعی با یکدیگر مساوی هستند و شکل F **تقارن محوری (بازتاب)** یافتهٔ شکل E نسبت به یک خط عمودی است.